A senha deve consistir em 4 dígitos. Quaisquer 4 dígitos e eles podem ser repetidos. tem 10 dígitos no total, para começar. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Assim, para o primeiro dígito da nossa senha, temos 10 escolhas
Como podemos usar o mesmo dígito novamente, o número de opções para o segundo dígito da nossa senha será 10 novamente! Assim, escolhendo dois dos dígitos da senha até agora, as permutações são 10 vezes 10, ou 10 x 10 = 100 ou 102.
O mesmo pensamento vale para o terceiro dígito da nossa senha. Podemos escolher as mesmas 10 opções novamente. Desta vez teremos 10 vezes 10 vezes 10ou 10 x 10 x 10 = 1.000 ou 103 permutações.
Por fim, para o quarto dígito da senha e os mesmos 10 dígitos para escolher, terminamos com 10 vezes 10 vezes 10 vezes 10ou 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 ou 104 permutações.
Como você provavelmente notou, tínhamos 4 opções a fazer e multiplicamos 10 quatro vezes (10 x 10 x 10 x 10) para chegar a um número total de permutações (10.000). Se tivéssemos que escolher 3 dígitos para a nossa senha, multiplicaríamos 10 três vezes. E se 7, nós faríamos isso Sete vezes e assim por diante.
Mas a vida não se resume a senhas com dígitos para escolher. E se tivermos uma festa de aniversário e precisarmos escolher 5 balões coloridos de 20 cores diferentes disponíveis?
Como temos 20 cores diferentes para escolher e podemos escolher a mesma cor novamente, para cada balão temos 20 escolhas Primeiro balão – 20segundo balão 20 vezes 20ou 20 x 20 = 400 etc. Para o quinto balão, obtemos – 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3.200.000 ou 205 permutações.
Vamos resumir com a regra geral: quando a ordem é importante e a repetição é permitida. E se n é o número de itens para escolher (balões, dígitos, etc.), e escolhemos r deles (5 balões para a festa, 4 dígitos para a senha etc), o número de permutações será igual P = nr.
A seguir, vamos considerar o caso em que repetição não é permitida. Como exemplo, veremos os planetas do nosso sistema solar.
Quantas maneiras diferentes podemos organizar 8 planetas? Os planetas são: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Depois de escolher, digamos, Mercúrio, não podemos escolher novamente. Portanto, temos que reduzir o número de opções disponíveis cada vez que o planeta é escolhido.
Primeira escolha terá 8 possibilidades. Segunda escolha terá 8 menos 1 é igual a 7 possibilidades, então 6, Seguido por 5, Seguido por 4 etc. até termos 1 planeta deixado na lista.
Seguindo nossa lógica do cenário anterior, o número total de permutações é: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320. Em outras palavras, este é um produto do número inteiro 8 e de todos os números inteiros positivos abaixo dele. Este produto é chamado Fatorial e é denotado 8!. O número de permutações é igual a P = 8! ou mais geralmente P = n!
E se precisarmos apenas organizar, digamos, 5 fora destes 8 planetas em vez de todos eles? Então nós só pegamos o 5 primeiros etapas em nosso método. Nomeadamente, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720 será quantas maneiras podemos organizar 5 planetas fora de 8.
Mas por que parar aqui? Por que não aplicar nossa lógica para criar uma fórmula mais geral? Para facilitar a memorização acima, para qualquer número de objetos, usaremos um truque. Em uma fração, multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número (exceto zero), não afeta essa fração. Portanto,
Número de planetas para escolher n = 8, nós escolhemos r = 5 deles. Substituir os números na fórmula acima nos dá P = 8! / (8 – 5)! = 8! / 3!. Igual a 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720.
A partir daqui, o resultado do exemplo anterior pode ser derivado. Lá, organizamos todos 8 fora de 8 planetas disponíveis. Usando a nova fórmula, P = 8! / (8 – 8)! = 8! / 0!. Desde então, fatorial de zero está de acordo em igual a 1, P = 8! / 1 = 8 !. Ou de maneira mais geral, P = n! / (n – n)! = n! / 0! = n!.
Uma notação curta e conveniente frequentemente usada é: P (n, r) = n! / (n – r)!
Lembrar fórmulas é importante, mas o mais importante para resolver problemas da vida real é saber quais fórmulas usar em cada situação. A prática ajuda.
Nós temos 6 equipes para escolher. portanto n = 6. Ouro e prata juntos nos dão 2 medalhas para premiar. portanto r = 2. Substituir esses números em nossa fórmula nos dá P (6, 2) = 6! / (6-2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30.
Parte 2. Combinações
Para tornar a comparação mais vívida, vamos revisitar nosso exemplo de seleção de planeta. E se quisermos saber exatamente quais planetas são escolhidos e não sua ordem de aparência?
Lá tivemos 6.720 maneiras distintas de organizar 5 dos 8 planetas. Mas desde que a ordem da aparência faz não importa agora, muitas dessas maneiras são redundante. Eles são os mesmos para nós. UMA grupo de Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno é o mesmo grupo como Marte, Júpiter, Vênus, Terra, Saturno e o grupo como Saturno, Marte, Terra, Júpiter, Vênus etc.
Quantos grupos temos que são iguais? Se escolhermos r planetas por grupo, temos r! grupos. Para r = 5, Nós temos r! = 5! = 120 grupos. Assim, para eliminar os grupos desnecessários iguais, dividimos o número de 6.720 Permutações por 5!. O resultado é 6.720 / 120 = 56..
Para generalizar, para chegar ao número de Combinações, precisamos descobrir todas as Permutações e dividir por todos Redundâncias. Usando notação curta e conveniente: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n – r)!)
Onde a ordem faz não importa e existem não repetições (não há dois Júpiteres para escolher).
Vamos revisitar nosso exemplo de torneio:
Como antes, temos 6 equipes. Portanto, n = 6. Existem duas medalhas concedidas, então r = 2. No entanto, desta vez não importa quem ganha ouro e quem ganha prata. O ouro e o ouro da equipe são os mesmos que prata e ouro da equipe. Substituir esses números em nossa fórmula nos dá C (6, 2) = 6! / (2! (6 – 2)!) = 6! / 2! 4! = 15.
Para concluir este artigo, há um caso que requer atenção especial. Até agora, em nossas combinações, assumimos que não havia repetição. Não há dois itens iguais.
E se nós posso tem repetições? E se, como em nosso exemplo anterior, pudermos escolher mais de um balão da mesma cor? Se o número de balões para escolher for n e nós escolhemos r deles enquanto permitindo para as mesmas cores e desconsiderando a ordem do arranjo, acabaremos com (n + r – 1)! / (r! (n – 1)!) Combinações.
Por fim, a tabela abaixo deve ser útil para memorizar os conceitos e fórmulas abordadas neste artigo.
