Como resolver um sistema de equações lineares


Uma equação linear é uma equação que representa graficamente uma linha. Um sistema de equações lineares ocorre quando há duas ou mais equações lineares agrupadas.

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Para simplificar a ilustração, consideraremos sistemas de duas equações. Como o nome sugere, existem duas variáveis ​​desconhecidas. Muitas vezes, eles são designados pelas letras x e y. Se as equações descrevem algum processo, as letras podem ser escolhidas pelos papéis que desempenham. Por exemplo, d pode ficar à distância e t por tempo.

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Neste artigo, aprenderemos como resolver sistemas de equações lineares usando dois métodos divertidos. Mas antes de começarmos, vamos ver como terminamos com um sistema específico, observando um exemplo da vida real.

Derivando um sistema

Um garoto pega sua bicicleta e começa a ir para a escola. Ele monta 200 jardas a cada minuto.

6 minutos depois, sua mãe percebe que seu filho esqueceu o almoço. Ela pega sua própria bicicleta e começa a seguir o garoto. Ela pega carona – Ela cavalga – Ela conduz 500 jardas a cada minuto (ela é olímpica e medalhista de ouro).

Queremos descobrir quanto tempo a mãe leva para alcançá-lo e até que ponto ela precisa ir até lá.

Como o garoto percorre 200 jardas por minuto, em t minutos ele cobrirá 200 vezes t jardas ou 200t jardas.

A mãe dele começa a andar de bicicleta 6 minutos depois, então ela cavalga (t – 6) minutos. Como ela cobre 500 jardas a cada minuto, em (t – 6) minutos ela cobre 500 vezes (t – 6) jardas ou 500 (t – 6) jardas.

Quando ela o alcança, os dois já percorreram a mesma distância. Digamos por enquanto que a distância é d.

Para o garoto que temos d = 200t e para a mãe dele temos d = 500 (t – 6). Agora temos nosso sistema de duas equações.

Um sistema de duas equações d = 200t ed = 500 (t – 6)

Um colchete é frequentemente adicionado para indicar que as equações formam um sistema.

Agora vamos ver como podemos resolver esse sistema.

Resolução por substituição

O primeiro método que consideraremos usa substituição.

Temos duas incógnitas aqui, d e t. A idéia é se livrar de uma variável, expressando-a usando a outra variável.

A equação superior nos diz que d = 200t, então vamos conectar 200t para o d na equação inferior. Como resultado, temos uma equação com apenas o t variável.

Uma equação com uma única variável 200t = 500 (t – 6)

Primeiro, expandimos o lado direito: 500 (t -6) = 500t – 500 * 6 = 500t – 3000.

Em seguida, simplificamos movendo os membros desconhecidos para um lado e os membros conhecidos para o outro. O resultado é: 500t – 200t = 3000.

Resolução da equação 300t = 3000 resulta em t = 10

Resolução para t nos dá t = 10, ou como medimos o tempo em minutos, t = 10 minutos. Em outras palavras, a mãe alcançará o filho em 10 minutos.

A segunda parte do nosso problema é descobrir até que ponto ela precisou pedalar para alcançá-lo.

Para responder a essa pergunta, precisamos encontrar d. Substituir t = 10 em qualquer equação nos dará essa resposta.

Para facilitar, vamos usar a equação superior, d = 200t = 200 * 10 = 2000. Como medimos a distância em jardas, d = 2000 jardas.

Vamos testar sua compreensão até agora – tente resolver o próximo sistema por conta própria:


No sistema acima, as variáveis ​​desconhecidas são x e y.

Da equação de cima sabemos que y = 2x. Substituir isso pela equação inferior nos dá 2 (2x) = 3 (x + 1).

Depois de expandir e simplificar, obtemos 4x = 3x + 3. Ou x = 3. Portanto, y = 2 * 3 = 6.

Resolução por gráficos

O segundo método que consideraremos usa representação gráfica, onde encontramos a solução para um sistema de equações, fazendo um gráfico delas.

Por exemplo, considere este sistema: y = 2x + 3 e y = 9 – x.

Um gráfico de cada equação será uma linha. O primeiro para y = 2x + 3 se parece com isso:

Um gráfico de y = 2x + 3

Em seguida, podemos representar graficamente uma linha para y = 9 – x:

Gráficos de y = 2x + 3 e y = 9 – x

Essas duas linhas cruzar exatamente em um ponto. Este ponto é a única solução para ambas as equações:

Gráficos de y = 2x + 3 e y = 9 – x se cruzam no ponto (2, 7)

O par ordenado (2, 7) nos dá as coordenadas do nosso ponto de interseção. Este par é a solução para o sistema. Substituindo x = 2 e y = 7 nos permitirá verificar isso.

E se os gráficos forem paralelos e não se cruzarem? Por exemplo:

Gráficos de y = x – 1 e y = x – 3

Quando os gráficos das equações não se cruzam, isso significa que nosso sistema não tem solução. Tentar resolver por substituição provará isso.

O resultado de x – 1 = x – 3 será 0 = -2, qual é sempre falso.

Mas e se dois gráficos forem iguais e estiverem diretamente em cima um do outro?

Gráficos de y = x – 2 e y = x – 2

Nesses casos, há um número infinito de pontos de interseção. Isso significa que nosso sistema possui um número infinito de soluções. Usar o método de substituição provará isso.

O resultado de x – 2 = x – 2 é 0 = 0, qual é sempre verdade.

Mais prática

Tente usar os métodos de substituição e gráfico para resolver os seguintes sistemas. Esses métodos se complementam e o ajudarão a solidificar seu conhecimento.


A escolha de uma variável específica para uso em substituição deve facilitar a localização de uma solução.

Tente expressar x com outros dois membros na equação superior, substitua o resultado na equação inferior. Dessa forma, você evitará lidar com frações.


Vamos fazer mais um desafio:


Agora que você sabe o suficiente sobre substituição e gráficos, vá lá e resolva equações mais lineares.



Fonte

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